Resumen Análisis de Fourier

Descripción A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es periódica, se puede representar con una precisión arbitraria, mediante la superposición de un número suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie armónica. Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir, donde el periodo P=2/, y a0 a1 ...ai ... y b1 b2 .... bi .... son los denominados coeficientes de Fourier. Conocida la función periódica f(t), calculamos los coeficientes ai y bi del siguiente modo Las integrales tienen como límite inferior -P/2 y como límite superior P/2. En el programa interactivo, transformamos la función periódica de periodo P, en otra función periódica de periodo 2, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x= t, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2 de x, y la función f(t) convertida en definida en el intervalo que va de - a +. La serie se expresa en la forma más simple donde Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.  Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos  Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos Por ejemplo, para el pulso rectangular simétrico de anchura 1, y periodo 2 se obtienen los siguientes coeficientes.     orden a b 0 1    1 0.6366 0 2 0 0 3 -0.2122 0 4 0 0 5 0.1273 0 6 0 0 7 -0.09097 0 8 0 0 9 0.07078 0     Actividades El applet nos permite elegir entre cuatro tipo de funciones discontinuas que representan pulsos periódicos. Rectangular Doble escalón Diente de sierra simétrico Diente de sierra antisimétrico Una vez elegido la función, introducimos los parámetros requeridos en los controles de edición y pulsamos el botón cuyo título da nombre a la función. Rectangular Doble escalón Diente de sierra 1 Diente de sierra 2 Pulsando sucesivamente en el botón titulado Siguiente >> se representa: En la parte superior, la función f(t) elegida y las sucesivas aproximaciones de dicha función. En la parte central, el armónico actual, en color azul ai·cos(ix) y en color rojo bi sin(ix). En la parte inferior, mediante segmentos verticales, la magnitud relativa de los coeficientes de Fourier, a la izquierda en color azul los coeficientes ai, y a la derecha en color rojo los coeficientes bi. Cuanto mayor sea la longitud de estos segmentos mayor es la contribución del armónico a la síntesis de la función periódica. Se puede observar, que la longitud de los segmentos disminuye con la frecuencia, es decir a mayor frecuencia del armónico menor es su contribución. La separación entre estos segmentos verticales es inversamente proporcional al periodo de la función, por tanto, para una función aperiódica (periodo infinito), la envolvente de los extremos de los segmentos verticales define una curva continua denominada transformada de Fourier. Pulsando en el botón titulado Anterior<< podemos volver a la aproximación anterior y compararla con la siguiente.     Ejemplos Pulso rectangular El pulso rectangular nos permite verificar que son nulos los coeficientes bi en una función cuya simetría es par. Probar el siguiente ejemplo: Periodo, 5.0 Anchura, 2.0 Traslación, 0.0. Si trasladamos el pulso rectangular, la función deja de tener simetría y por tanto, aparecen coeficientes ai y bi. Probar el siguiente ejemplo: Periodo, 5.0 Anchura, 2.0 Traslación, 0.5. Pulso doble escalón El pulso doble escalón nos permite verificar que son nulos los coeficientes ai en una función cuya simetría es impar. Probar el siguiente ejemplo: Periodo, 3.0 Anchura, 2.0 Profundidad, 1.0. Si cambiamos la profundidad del escalón derecho, la función deja de tener simetría y por tanto, aparecen coeficientes ai y bi. Probar el siguiente ejemplo: Periodo, 3.0 Anchura, 2.0 Profundidad, 0.5. Pulso diente de sierra simétrico Ejemplo: Periodo, 4.0. Observar que basta los primeros armónicos para aproximar bastante bien esta función simétrica. Pulso diente de sierra antisimétrico Ejemplo: Periodo, 1.0. Observar que se necesitan muchos armónicos para aproximarnos a esta función periódica.